‣

1) Элементы теории множеств и символика математической логики

1. Определения: множество, пустое множество, подмножество, равные множества.
2. Отношение принадлежности и способы задания множества.
3. Определение: высказывание.
4. Логические операции и их таблицы истинности. Конъюнкция, дизъюнкция, отрицание, импликация, эквивалентность.
5. Кванторы общности и существования.
6. Операции над множествами и их свойства. Объединение, пересечение, разность, дополнение.
7. Теорема о создании нового истинного соотношения на основе имеющегося. Без доказательства.
8. Теорема о получении отрицания высказывания. Без доказательства.

‣

2) Натуральные и рациональные числа

1. Числовые множества.
2. Определение: натуральные числа.
3. Аксиомы Пеано. (5 аксиом)
4. Принцип математической индукции Пример.
5. Операции на множестве натуральных чисел.
6. Определения: положительная рациональная дробь, их эквивалентность, положительное рациональное число.
7. Множество положительных рациональных чисел.
8. Операции отношения и арифметические операции.
9. Определения: нулевой элемент, противоположный элемент.
10. Множество рациональных чисел.

‣

3) Аксиомы сложения, умножения, порядка, плотности рациональных чисел. Следствия из основных аксиом.

1. Аксиомы сложения. (4 аксиомы) Коммутативность, ассоциативность, сущ. нулевого элемента, сущ. противоположного элемента.
2. Аксиомы умножения. (5 аксиом) Коммутативность, ассоциативность, сущ. единичного элемента, сущ. обратного элемента, дистрибутивность.
3. Аксиома порядка.
4. Аксиома плотности.
5. Следствия из аксиом. (3 следствия) Единственность нулевого и единичного элементов, единственность противоположного и обратного элементов, свойство Архимеда.

‣

4) Сечение множества рациональных чисел. Иррациональные числа. Операции отношения для иррациональных чисел.

1. Определения: сечение множества, нижний класс сечения, верхний класс сечения
2. Нижний класс имеет максимум, верхний не имеет минимум.
3. Нижний класс не имеет максимум, верхний имеет минимум.
4. Нижний класс имеет максимум, верхний имеет минимум.
5. Нижний класс не имеет максимум, верхний не имеет минимум.
6. Множество вещественных чисел.
7. Операции отношения.

‣

5) Лемма о плотности вещественных чисел. Лемма о единственности вещественного числа, заключенного в сколь угодно узком промежутке.

1. Лемма о плотности вещественных чисел относительно рационального числа. С доказательством.
2. Лемма о единственности вещественного числа, заключенного в сколь угодно узком промежутке. С доказательством.

‣

6) Представление вещественного числа десятичной дробью. Теорема Дедекинда.

1. Представление вещественного числа десятичной дробью.
2. Определение: сечение множества вещественных чисел.
3. Теорема Дедекинда С доказательством.

‣

7) Ограниченные множества. Теорема о верхней и нижней гранях множества.

1. Определения: ограниченное сверху множество, верхняя грань, ограниченное снизу множество, нижняя грань, ограниченное множество, точная верхняя грань, точная нижняя грань.
2. Теорема о верхней и нижней гранях множества. С доказательством.
3. Следствия из теоремы.
4. Точные верхняя и нижняя грани для неограниченного множества.

‣

8) Арифметические операции с вещественными числами. Модули, степени, корни, логарифмы.

1. Операция сложения.
2. Операция умножения.
3. Правила для знакопроизвольных чисел.
4. Доказательство справедливости аксиом поля.
5. Понятия модуля, степени, корня и логарифма.

‣

9) Принцип вложенных отрезков Коши-Кантора.

1. Лемма о вложенных отрезках Коши-Кантора. С доказательством.
2. Случай с открытыми отрезками.

‣

10 )Покрытия множеств. Лемма Бореля-Лебега.

1. Определение: покрытие множества.
2. Лемма Бореля-Лебега. С доказательством.

‣

11) Понятие окрестности точки. Внутренние и предельные точки множества.

1. Определения: окрестность точки, внутренняя точка множества, предельная точка множества.
2. Лемма Больцано-Вейерштрасса. С доказательством.

‣

12) Счетные множества. Счетность рациональных чисел. Теорема Кантора о несчетности вещественных чисел.

1. Определения: равномощные множества, A мощнее B, счетное множество.
2. Теорема о счетности объединения множеств. С доказательством. Плюс обобщенная теорема.
3. Теорема о счетности множества рациональных чисел. С доказательством.
4. Теорема Кантора о несчетности множества вещественных чисел на отрезке. С доказательством.
5. Определение: мощность континуума.
6. Теорема о том, что R имеет мощность континуума. С доказательством.
7. Теорема о мощность множества всех подмножеств множества. Без доказательства.

‣

13) Комплексные числа.

1. Определения: комплексное число, действительная, мнимая части.
2. Множество комплексных чисел как расширение множества вещественных чисел.
3. Операции над комплексными числами. Равенство комплексных чисел. Сумма и произведение.
4. Определения: модуль и аргумент комплексного числа, мнимая единица, сопряженное комплексное число.
5. Свойства комплексного числа и сопряженного к нему. (4 свойства)

‣